Um princípio fundamental em finanças é que o valor de um título em qualquer momento do tempo é igual ao valor actualizado para esse instante de todos os cash-flows líquidos que se antecipa que ele venha a gerar no futuro. Apresento alguns exemplos práticos de fácil compreensão.
Valorimetria de obrigações de cupão zero (Pure Discount Bonds)
PT=VR/(1+r)n
Com n = número de anos até à maturidade; r = taxa de desconto. Denota-se que existe uma relação inversa entre a taxa de actualização e o preço teórico.
Por exemplo, suponhamos uma obrigação deste tipo que se vence daqui a vinte anos e cujo valor facial é de €1000 (admitimos Valor Residual igual ao Valor Nominal). A taxa de juro vigente no mercado é de 10%. Quanto vale hoje esse título? Pela aplicação da fórmula será €148,644.
Valorimetria de obrigações com cupão
Estas obrigações, para além de gerarem o cash-flow correspondente à liquidação do seu valor facial, também pagam cupões periódicos. Admitindo:
1) Cupão fixo (constante ao longo do tempo – C);
2) A valorimetria faz-se no instante imediatamente posterior ao pagamento do último cupão;
3) A taxa de juro r está referida à dimensão temporal na qual os cupões se vencem (se a maturidade for de x anos, ela é anual; se for de y semestres, é semestral → desta forma evita-se a necessidade de correcções).
PT= [C/(1+r)n]+[VR/(1+r)n]
A primeira parcela corresponde à actualização dos cupões e a segunda parcela à actualização do valor de reembolso. Estamos a considerar que não há risco, mas mesmo as obrigações soberanas têm um risco de crédito associado. Há sempre risco, ainda que mínimo. Assim sendo, há que considerar a incerteza:
- Ou se aumenta a taxa de actualização por um prémio de risco ⇒ ↓ PT
- Ou se mantém r e coloca-se o valor esperado de C (alterações dos cash-flows são atribuídas com incerteza). Se não for indexada, tem o risco de inflação. Se for não cotada, tem o risco de liquidez (com grande liquidez posso investir em produtos com maturidades elevadas).
Taxa actuarial de rentabilidade (Yield To Maturity)
É a taxa interna de rentabilidade (TIR) da obrigação para os valores conhecidos do preço, do cupão, do valor nominal e do prazo até ao vencimento. É a taxa de desconto que torna a soma dos valores actualizados de todos os cash-flows líquidos futuros igual ao preço de mercado (valor do investimento). Calcula-se somando os fluxos de rendimento actualizados e igualando a zero. A título de exemplo, qual a YTM (TIR) para uma obrigação que se vence dentro de 6 anos, que se cota hoje no mercado a €1100, que paga cupões anuais à taxa de 12%, o próximo dos quais será liquidado dentro de 1 ano, e cujo VN (= VR) é de €1000? YTM = 9,72%.
O Efeito Cupão
A taxa de rentabilidade ex-post obtida por um investidor só é igual à taxa actuarial de rentabilidade no caso do: a) O investidor manter a obrigação até ao seu vencimento, b) Se não houver incumprimento de nenhum dos cash-flows esperados c) E se os cupões forem reinvestidos a uma taxa de juro igual à yield, ou tratar-se de obrigações de cupão zero.
A taxa de rentabilidade obtida por um investimento em obrigações (taxa ex-post) é aquela que relaciona, para o período de tempo relevante, o montante do investimento feito (preço do título) com o montante acumulado na data do vencimento, incluindo os juros vencidos pela aplicação dos cupões. Seja:
PE = preço efectivo do título; F = valor acumulado na data de vencimento = VR + cupões vencidos + juros dos cupões vencidos; N = prazo até ao vencimento; rr = taxa de juro a que são reinvestidos os cupões; F = C (1 + rr)N‐1 + C (1 + rr)N‐2 +...+ C (1+rr) + VR + C;
F = P (1 + rex‐post)N ⇔ rex‐post = (F/P)1/N – 1 → é a taxa que relaciona o preço pago pela obrigação e o valor acumulado pelo obrigacionista na data de vencimento da mesma.
A título demonstrativo, suponha-se as seguintes obrigações:
Obrigação Taxa anual de cupão Prazo até ao vencimento Preço VN = VR
A 6% 12 anos $ 727,45 $1000
B 14% 12 anos $1272,55 $1000
Nota: a taxa ex‐post relaciona na data de vencimento o preço pago pela obrigação postecipada com os cupões também postecipados. Quando:
YTM = rr, YTM = rr = r ex‐post
YTM > rr, r ex‐post < YTM
YTM YTM
Alguns teoremas sobre o preço das obrigações
I. O preço das obrigações varia inversamente com as taxas de juro que actualizam os cash-flows (r). Exemplo: obrigação ao par com valor facial de 1000, cupão anual de 10% e 8 anos de maturidade
r = 10% ⇒ preço de 1000
r = 11% ⇒ preço de 948,54
r = 9 % ⇒ preço de 1055,35
II. A subida do preço originada pela descida da taxa de actualização é superior ao valor absoluto da descida do preço originada por uma igual subida da taxa de actualização. De outra forma, as subidas do preço decorrentes de sucessivas descidas de YTM (em igual montante) são cada vez maiores. No exemplo anterior: descida da taxa de actualização em 1% ⇒ subida do preço em 55,35 subida da taxa de actualização em 1% ⇒ descida do preço em 51,46
III. Para todas as obrigações cotadas ao par ou acima do par e para quase todas as obrigações abaixo do par, quanto maior a maturidade, maior é a variação relativa do preço da obrigação para uma dada variação da taxa de actualização. Exemplo:
Obrigação A: ao par, cupão anual de 10%, a 5 anos
Obrigação B: ao par, cupão anual de 10%, a 10 anos
Com uma taxa de actualização de 10%, o seu preço é igual a 1000. Se ela se alterar para 9% ⇒ preço A = 1038,9; preço B = 1064,18. Logo, as obrigações de maior risco serão as de maior maturidade.
IV. Quanto menor a taxa de cupão, maior é a variação relativa (percentual) do preço das obrigações para uma mesma variação da taxa de actualização. [nota: isto não é válido para rendas perpétuas]
Exemplo:
Obrigação A: 1000 ao par, cupão 8%, maturidade 3, YTM inicial 10% ⇒ preço de 950,26
Obrigação B: 1000 ao par, cupão 9%, maturidade 3, YTM inicial 10% ⇒ preço de 975,13
Se YTM ↑ para 11% ⇒ preço A = 926,69 (desce 2,48%); preço B = 951,13 (desce 2,46%).
